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 正弦定理 説明

 

 下のような三角形を考えます

 正弦定理とは,半径 の外接円(すべての頂点を通る円)を持つ△ において,3辺の長さ と3つの角の正弦 と,さらに外接円の半径 との間に成り立っている関係を公式にしたものです。その公式は,

   

となります。まずは,この公式を証明します。

(1)  が鋭角( )のとき,

    △ に半径 の外接円を書きます。

    

    同じ円周に関する円周角は等しいので,外接円の中心を通り となる円周上の点 をつくります。このとき, は外接円の中心を通るので,

      かつ   となるので,図は以下のようになり,

    

    

      となり,

    

    このとき, より,

    

(2)   のとき,

    図は以下のようになる。

    

    したがって,  かつ, となり,

      が成り立つので,

      を満たす。

(3)   のとき,

    △ に半径 の外接円を書きます。

    外接円の中に 鋭角となるような円周上の点 をつくります。

    図で示すと以下のようになります。

    

    この図と(1)より,

    

    ここで,内接四角形の対角の和は180°なので,

        (180°−θの公式)

       

    よって,鈍角においても

    

(1)〜(3)より,△ において,

      が成り立つ。

 

これを にも利用することで,初めに示した公式を導くことが出来ます。

では実際に公式を利用してみましょう。

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