三角形の5心(外心・内心・重心・傍心・垂心)のうち外心について考えていきます。
三角形の各辺の垂直二等分線は1点で交わります。
これは以下のように証明ができます。
において,辺
,
の垂直二等分線の交点を
とします。
は
の垂直二等分線上の点なので,
…@
また,
は
の垂直二等分線上の点なので,
…A
@・Aより,
となり,
は
の垂直二等分線上に存在する。
よって,三角形の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
また,垂直二等分線の交点
は,三角形の各頂点から等しい距離にあるので,
この点を中心として三角形の3つの頂点を通る円を描くことができます。
この円を三角形の外接円といい,垂直二等分線の交点
は外心と呼ばれます。
次に直角三角形のときを考えて見ましょう。中学数学で円周角を学んだ際に,
直角三角形の斜辺の中点がその直角三角形の3つの頂点を通る円の中心になることが
ありました。これは,
直角三角形の外心は斜辺の中点にある。
ということです。これとその逆を例題で証明していきましょう。
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