三角形の５心（外心・内心・重心・傍心・垂心）のうち垂心について考えていきます。
三角形の各頂点から対辺にひいた3つの垂線とは1点で
交わります。
これは以下のように証明ができます。
の頂点より対辺にひいた3つの垂線を
，
，
とします。
また，頂点
，
，
を通り対辺に平行な直線をそれぞれ
，
，
とし，
と
，
と
，
と
の交点をそれぞれ
，
，
とすると
四角形
，
は平行四辺形となります。
よって，
したがって，
は
の中点になります。また
なので，
ゆえに，
は
の辺
を垂直に2等分します。
同様にして，
は
の辺
を，
は
の辺
を
垂直に2等分します。
このとき，
，
，
は
の各辺の垂直2等分線なので，
の外心となる1点で交わります。
ゆえに，三角形の頂点より対辺に引いた3つの垂線は1点で交わります。
この交点を
の垂心といいます。
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