例題(オイラー線の証明)
の外心を
,重心を
,垂心を
とする。
このとき
,
,
の3点が一直線上にあり,
となることを証明せよ。
例題 解答
の
,
,
の中点をそれぞれ
,
,
とおく。
このとき,中点連結定理より,
…@
…A
…B
また,
が外心であることから,
…C
…D
…E
となるので,
@・Cより
,A・Dより
,B・Cより
となり,
は
の垂心にもなる。
また
で相似比は
と分かるので,
垂心までの長さも
となるので,
…F
さらに,
は
の垂心であることから,
であり,これとCより,
となり,錯角が等しくなるので,
と
の交点を
となり,
この相似な三角形ので相似比はFより
ここで,
は
が
の中点なので中線となり,
の重心
は
上に存在し,
となるので,
と
が一致する。
よって,
,
,
の3点が一直線上にあり,
と
の相似比より,
となる
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