三角形の5心(外心・内心・重心・傍心・垂心)のうち傍心について考えていきます。
三角形の1つの内角と他の2つの外角の二等分線とは1点で交わります。
これは以下のように証明ができます。
において,
,
の外角の二等分線の交点を
とし
より
,
,
またはその延長上におろした垂線の足を
それぞれ
,
,
とすると,
,
において,
は共通なので,
よって,
…@
同様にして,
…A
@・Aより,
…B
また,
,
において,
…C
は共通 …D
B・C・Dより,
なので,
したがって,
は
の二等分線となります。
よって,
の内角と,
,
の外角の二等分線と1点で交わる。
この交点を
の
内の傍心といいます。
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