三角形の5心(外心・内心・重心・傍心・垂心)のうち内心について考えていきます。
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わります。
これは以下のように証明ができます。
において,
,
の二等分線の交点を
とします。
から辺
,
,
に下ろした垂線の足をそれぞれ
,
,
とすると,
と
において
…@
…A
は共通 …B
@〜Bより,
よって,
…C
同様にして,
…D
C・Dより,
次に,
と
において
…E
…F
は共通 …G
E〜Gより,
よって,
したがって,
は
の二等分線になる。
ゆえに,三角形の3つの角の内角の二等分線は1点で交わる。
また,3つの角の二等分線の交点
は,三角形の各辺から等しい距離にあるので,
この点を中心として三角形の3辺に接する円を描くことができます。
この円を三角形の
内接円といい,3つの角の二等分線の交点
は内心と
呼ばれます。
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