円周角の定理「1つの弧に対する円周角は一定」を利用して，
角度が等しいときにその2つの角をつくる4点が同一円周上にある
ことを証明していきます。
円周角の定理の逆は，
2点
，
が直線
について同じ側にあるときに
が成り立つならば，4点
，
，
，
は１つの円周上にある。
このことは以下のようにして証明することができます。
3点
，
，
を通る円において，点
が円の内部にあるとすると，
の延長と円の交点を
とすると，
の外角の定理より，
円周角の定理より，
なので，
したがって，
…①
点
が円の外部にあるとき，
と円の交点を
とすると，
の外角の定理より，
円周角の定理より，
なので，
たがって，
…②
①・②ともに
とはならない。
したがって，
が成り立つとき，
点
は3点
，
，
を通る円周上にある。
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