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平面図形

 方べきの定理 説明                          Date:2009年10月 1日

べきの定理とは,

平行でない2本の直線と円とが交わって(接して)できる図形の辺の長さの関係

を示している公式です。基本的には3つの形があります。

どれも三角形の相似から証明することができます。

@ 2つの直線の交点が円の内部にあるとき

   方べきの定理 説明の図 パターン1

  このとき,  が成り立ちます。

  このことは以下のように証明することができます。

   において,

  対頂角が等しいので,

  同じ弧に対する円周角は等しいので,

  よって,

  このとき対応する辺の比は等しいので,

  

  したがって,  が成り立つ。

A 円の外の1点から2本の直線が円とそれぞれ異なる2点で交わるとき

   方べきの定理 説明の図 パターン2

  このとき,  が成り立ちます。

  このことは以下のように証明することができます。

   において,

  共通な角なので,

  内接四角形の性質より,

  よって,

  このとき対応する辺の比は等しいので,

  

  したがって,  が成り立つ。

B 円の外の1点から1本の直線が円と2点で交わり,もう1本が円に接するとき

   方べきの定理 説明の図 パターン3

  このとき,  が成り立ちます。

  このことは以下のように証明することができます。

   において,

  共通な角なので,

  接弦定理より,

  よって,

  このとき対応する辺の比は等しいので,

  

  したがって,  が成り立つ。

 

 平面図形 円の性質

 

円周角 例題 練習問題

円周角の定理の逆の利用 例題 練習問題

内接四角形 例題 練習問題

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