2乗に比例する関数の最大値・最小値に関しては中学数学で学習した範囲ですが,
復習をしておきましょう。
2乗に比例する関数
では比例定数の
の値が正か負かによって
場合分けをして考えるのが一般的です。
のときは下に凸の(上に開いた)関数なので,定義域がない場合には
最大値はありません。また,原点まで変化の割合が負の減少関数であったものが,
原点を境にして変化の割合が正の増加関数になるので,定義域に
が
含まれる場合には,最小値は
になります。
のときは上に凸の(下に開いた)関数なので,定義域がない場合には
最小値はありません。また,原点まで変化の割合が正の増加関数であったものが,
原点を境にして変化の割合が負の減少関数になるので,定義域に
が
含まれる場合には,最大値は
になります。
では,一般的な2次関数ではどうなっているのでしょうか。 2次関数
は2乗に比例する関数
を平行移動したものです。
したがって,定義域がない場合,または,定義域に軸である
が
含まれている場合は,頂点である
が
のときに
最小値になり,
のときに最大値となります。
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